а тут родительный? который генитив?

Обратимся к справочной литературе.
http://www.evartist.narod.ru/text1/66.htm#з_04
§201. Падеж дополнения при переходных глаголах с отрицанием
2. Винительный падеж, ослабляющий значение отрицания, обычно употребляется в следующих случаях:
12) обычно в конструкции «не + вспомогательный глагол + инфинитив переходного глагола + дополнение» (т.е. при отнесении дополнения не непосредственно к глаголу с отрицанием, а к инфинитиву, зависящему от глагола с отрицанием, что ослабляет влияние отрицания): не мог представить рукопись, не надеялся выполнить задание. Например: Старик Лаврецкий долго не мог простить сыну его свадьбу (Тургенев); ...Он не мог сдержать улыбку (он же); ...Он не решался сообщить матери и Оле правду о своем несчастье (Б. Полевой).

Реже в этих случаях встречается конструкция с родительным падежом, например: ...Не могла слышать его грустного голоса, не могла видеть его тоски и страданий (Короленко); Мы не умеем брать просто от жизни ее радостей (Куприн);

как раз тот самы редкий случай?

Мне тут винительный не мешает. Хотя фраза в целом странновата.

можно развернуть в русском до допустить ошибку.
мы не можем позволить себе допустить ошибку.

Да и так сказать можно. Пусть живет, я думаю.

Нормальная фраза. Если сделать родительный падеж - "мы не можем позволить себе ошибки", будет непонятно, одна ошибка имеется в виду или много. Если надо совсем уж литературно, то "мы не имеем права на ошибку".

если бы это было множественное чило, я бы точно родительным падежом пошел. и потом - поливалентность это не грех. мать ли моет дочь? или мать моет дочь?
так что, если не делать рожительный падеж, все равно будет понятно, если контекст даден.

Здесь контекст не даден, так что лучше по возможности писать однозначно, имхо. Проще потом будет переводить.