quem escrevi --> que escrevi [?]

Corrija-me, por favor, se eu estiver enganada:

Com o pronome relativo "quem" o verbo concorda com o antecedente ou fica na terceira pessoa do singular:
-Fui eu quem escrevi a carta.
-Fui eu quem escreveu a carta. (verbo na terceira pessoa do singular)

Do “Guia Prático do Português Correto”, de Cláudio Moreno:
“É fui eu que fiz ou fui eu quem fez?
Se usarmos “quem”, um pronome da 3ª pessoa, a concordância será obrigatoriamente “quem fez”. Portanto, você pode escolher entre “fui eu que fiz” ou “fui eu quem fez” (da mesma forma que “fomos nós que fizemos” ou “fomos nós quem fez”). A escolha é livre, mas eu recomendo, pessoalmente, a primeira opção, porque está mais de acordo com a fala usual.”

Fui eu quem escreveu a carta. --> Quem escreveu a carta fui eu.
Foste tu quem escreveu a carta. --> Quem escreveu a carta foste tu.
Fomos nós quem escreveu a carta. --> Quem escreveu a carta fomos nós.

Fui eu que escrevi a carta. --> Quem escreveu a carta fui eu.
Foste tu que escreveste a carta. --> Quem escreveu a carta foste tu.
Fomos nós que escrevemos a carta. --> Quem escreveu a carta fomos nós.

Foi você (ele, ela) quem escreveu a carta. --> Quem escreveu a carta foi você (ele, ela).
Foi você (ele, ela) que escreveu a carta. --> Quem escreveu a carta foi você (ele, ela).

Eu me rendo, vencida e convencida! Fui eu que escrevi a carta.
Muito obrigada, caro Carlos ☺

Veja a responsabilidade que eu tinha: convencer alguém da sua estatura!
Não tem de quê. ;-)