I guess we could refer to this sentence as a tongue twister.

I have a question, if I may, regarding the end of the sentence, ".. Fliegen nach."
Does it mean "after flies", same as "nach Fliegen" in the beginning?

@CK,
Yes, it's exactly the same.
BTW, I forgot how a bufallo could create such a sentence and still mean something logical (I did know once). Could you enlighten me?

It's not hard to pronounce quickly, I would say.
More challenging:
Der Whiskymixer mixt Whisky im Whiskymixer.
Blaukraut bleibt Blaukraut und Brautkleid bleibt Brautkleid.
Der Kaplan Klapp plant ein klappbares Pappplakat.
Der Cottbuser Postkutscher putzt den Cottbuser Postkutschkasten, den Cottbuser Postkutschkasten putzt der Cottbuser Postkutscher.
Der Cottbuser Postkutscher putzt den Cottbuser Postkutschkasten und der Potsdamer Postkutscher putzt den Potsdamer Postkutschkasten.
Bürstenborsten mit schwarzen Borsten bürsten besser als Bürstenborsten mit weißen Borsten bürsten.
Dicke Nichten dichten im dichten Fichtendickicht. Im dichten Fichtendickicht dichten dicke Nichten.
Fischers frisch frisierter Fritze frisst friesische frisch frittierte Frischfischfrikadellen.
Zwanzig zerquetschte Zwetschgen und zwanzig zerquetschte Zwetschgen sind vierzig zerquetschte Zwetschgen.

>I forgot how a bufallo could create such a sentence
Buffalo buffalo, that Buffalo buffalo buffalo [verb], buffalo [verb] Buffalo buffalo.
Buffalo buffalo = the buffalo from Buffalo

@Ooney, thanks. ☺

@Alex, could you address my question above, regarding "Fliegen nach" and "nach Fliegen"? I thought that they mean the same, was I correct? ☺

I think in the latter clause, 'nach' is the separable prefix of 'nachfliegen', no?
Fliegen fliegen nach Fliegen (1) => Fliegen nachfliegen Fliegen (2)
Because these are essentially synonymous :D

Ooneykcall hat recht / is right / estas prava. Он умный парень. ☺

Thanks a lot, Ooney.
And alex.
Mi kore dankas vin ambaŭ.

@Eldad
The first "nach" is a preposition and the "nach" at the ending is actually the prefix of "nachfliegen" i.e. hinterherfliegen, which ends up "solo" at the end of the sentence.

Does that help?

I can see I was a bit late. Never mind.

Yes, it does. I forgot that we are dealing here with a trennbares Verb. ☺

@raggione
Tio estas tre bona klarigo, estimata kolego. ☺ Korajn salutojn al Skotlando*!

* (aŭ Kaledonio, se vi preferas tion)

PS. @raggione, you weren't late at all. Every bit of contribution counts.
Thanks a lot.

One more...
Fliegen fliegen nach Fliegen. One would think that Fliegen is a place.

The preposition "nach" in the first part doesn't seem very approriate in Standard German. Substituting the flies with you and me (and changing the word order a bit) we get:
Wenn ich nach dir fliege, fliege ich dir nach. The appropriate preposition would be "hinter dir".
The only way to interprete this "nach" is in a temporal meaning. This may make sense in this sentence, but not in the fly sentence.

(Maybe in some varieties of German you can use "nach" in the meaning of "hinter", I'm not sure)

@brauchinet
Lieber österreichischer Kollege, könnte es sein, dass du dies ein wenig zu kompliziert siehst?
Es ist wohl richtig, dass "nach" ein zeitliches Verhältnis bezeichnet und "hinter" ein räumliches.
Aber macht das in diesem Beispiel einen Unterschied? Beim Flug der Fliegen fällt meines Erachtens beides zusammen. Eine Fliege, die hinter einer anderen Fliege, fliegt zugleich auch nach dieser (das heißt: zu einem etwas späteren Zeitpunkt an einem bestimmten Punkt vorbei). Fliegen fliegen nach Fliegen (zeitliche Reihenfolge) und fliegen Fliegen nach / fliegen Fliegen hinterher (Verfolgung im Raum). Wenn das jetzt bitte jemand ins Lateinische übersetzen könnte, dann verstehen es sicher alle. ☺

Ja, man sagt schon: Eine Fliege nach der anderen fliegt (nach Fliegen).
Aber wieso habe ich dann dann nach einer Stadt namens Fliegen gesucht?

Es gibt keine Stadt in diesem Satz (zumindest nicht notwendigerweise).
Nach Fliegen fliegen Fliegen. Die einen Fliegen fliegen vorweg, die anderen hinterdrein.

@brauchinet
Wenn man das dritte "fliegen" als "abfliegen" versteht, dann funktioniert es. Oder?

Ja, das funktioniert.