Volgens mij is "Op het moment dat" beter, maar ik weet eigenlijk niet zeker of het dan nog "zodra" betekent, want dat is denk ik wat de bedoeling was dat het betekende, toch?

Yep, やいなや(や否や, ya ina ya) achter een ww plakken hebben en je hebt "zodra" een andere mogelijkheid is が早いか (ga hayai ka). Als je er "op het moment" van maakt creëer je denk ik een licht nuanceverschil wat waarschijnlijk niet zo veel uitmaakt, maar daardoor verschuift de nadruk wel een beetje naar de tijd namelijk "het moment"... Zodra heb ik over nagedacht, maar past ook niet echt, omdat zodra zou impliceren dat alles al gepland was - of zit ik fout? Ik weet het niet hoor... Maar als je de huidige zin niet goed vindt klinken, moeten we er iets aan veranderen..

Volgens mij impliceert "zodra" niet dat het gepland is hoor.
zo·dra vw onmiddellijk nadat: ~ ik klaar ben

Mij probleem met "het moment dat" is enerzijds dat het in de bedoelde betekenis volgens mij een anglicisme is, en anderzijds dat ik de neiging heb om, zolang ik alleen het eerste zinsdeel (tot de komma) heb gelezen, te denken dat "het moment" het onderwerp is (zoals in "Het moment dat ik hem zag was het mooiste moment van mijn leven" bijvoorbeeld).

wat vind je van "zo gauw als..."?

Prima. :)