внушил храбрость?

или "чтобы они были храбрыми"?

У нас много таких примеров? Теоретически можно было бы оставить несколько с тегом archaic, поскольку в одно время у нас шире встречалось согласование с инфинитивом по образцу латыни.

Я вполне согласен на тег archaic.

По-моему, это не archaic. Это просто криво.

В принципе, мне попадалась конструкция "внушил им быть", ну или вот:

https://www.google.ru/webhp?sou...D1%82%D1%8C%22

Но в современной речи это звучит странно.

ср., например, "тебя душа моя быть чает" Державина.
Так что за пример архаичной речи вполне пойдёт.
Я уже высказывал позицию, что распределение всяких вариантов в корпусе должно быть в идеале пропорционально распределению таковых в языке. Архаика тоже занимет некоторое небольшое место.

Есть вероятность, что такое только у Державина да в прочих случаях намеренного калькирования с иностранных языков у иных мастеров слова и находится.
Оборот который мы видим здесь скорее сродни вполне понятному и распространенному обороту типа "он сказал ему прийти". Просто и вправду очень уж странно видеть в такой конструкции глагол "внушать" (в смысле "возбуждать какое-либо чувство).

Может, и так, а с другой стороны, вроде как в древнерусском инфинитив был куда более семантически активен, так что, может, и в том корни есть. В любом случае — чем не архаика?

Кстати, с "внушать" в смысле "сделать внушение, внушением убедить в чём-либо" это, верно, современно, но тоже необычно, литературно как-то.