¿Por qué "recoger a" y no "recoger de"?

Porque es "ir a..."

No. Opino "recoger a la lavandería". Yo diría "recoger de la ..."

@Espi: te cuento cómo lo veo yo.

Debo ir a recoger mi ropa a la lavandería (=debo ir a la lavandería a recoger mi ropa) apenas salga del trabajo.

El verbo "ir" en este caso no indica futuro sino desplazamiento del lugar adonde tiene que ir, y ese lugar es la lavandería, a lo que además se añade la información de "a qué" -> "a recoger la ropa".

Si se diera por hecho ese desplazamiento, que también sería posible, yo omitiría ese "ir a" --> debo recoger la ropa de la lavandería. Ahí sí que sería recoger de, porque no se indica adónde vas (esa parte se sobreentiende), sino de dónde vas a sacar la ropa.

No sé si ha quedado muy claro, ya me dirás.

Para mí, la fila de las palabras parece ser muy importante para entender la frase.

«Debo ir a la lavandería a recoger mi ropa» lo entiendo exactamente; fácil obvio.

Pero no: «debo ir a recoger mi ropa a la lavandería».
Aquí diría «... recoger mi ropa DE la lavandería».

No se puede recoger algo A algún lugar. ¿O me equivoco al pensar? ;D ;D

recuerda que en español el orden de los complementos no es tan fijo ni tan importante como en alemán :P
Exactamente, no se puede recoger algo a algún lugar, se recoge algo de algún lugar, pero se va a recoger algo a un lugar (= se va a un lugar a recoger algo).

¡Claro! ... un poquito más donde se debe tener cuidado ... ;(
Pero, ahora estoy enterado [o: estoy al tanto? ;D]