Heather произносится /ˈheðə(r)/:
http://www.macmillandictionary....ritish/heather
https://slovari.yandex.ru/heather/en/

Когда речь о словах, пожалуй так. С именами иначе.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Миллс,_Хизер

Ну и неправильно обозвали эту Миллс и других Хизер, грамотеев-то хватает. :) В той же Википедии есть и Хезер,
https://ru.wikipedia.org/w/inde...B9%D1%82%D0%B8
и парочка Хэзер:
https://ru.wikipedia.org/w/inde...B9%D1%82%D0%B8

Здесь в колонке справа тоже указано произношение /ˈhɛðər/:
https://en.wikipedia.org/wiki/H...8given_name%29

Стоит заметить и то, что в болгарском и сербском предложениях «Хедър» и «Хедер» соответственно.

Иероглифичность английского во всей красе :-)

heathen - [ˈhi:ðən]
heather - [ˈheðə]

С именами вообще полный бардак, на самом деле. Зачастую их переводят не так, как надо по правилам фонетики, а общепринятым образом. Что, кстати, на Татоэбе тоже присутствует.

http://liliput.com.ua/index.php?page=hizer-heather
http://imya.com/name/46891
http://www.uznayvse.ru/znamenit...изер-грэм.html

Всё равно произношение не воспроизводится, th у нас ведь нет, а значит, какая разница? :D Как ни назови, всё будет коверканьем. Уж аффицияльно рекомендуемые Хетер/Хедер хуже, на мой слух, аппроксимируют, чем Хэзер/Хезер. А так мы даже вносим некое единнообразие для собственного удобства, уподобляя женское имя Heather и параллельное мужское Heath, в которых англики ухитрились поставить две разные гласные. Хизер, Хезер, Хэзер, Хетер, Хитер - все одинаково безблагодатные созвучия. :) Так и хочется все их сюда добавить, дабы сия дурь каждому была видна :P