Стоит ли здесь добавить "под дождем", или оставить в соответствии с оригиналом?

Мне кажется, можно оставить как есть.

OK.

Только запятая не нужна:
мокнуть и
("не любят" и "найдут" - однородные сказуемые)

OK

найдут -> станут искать (seek, не find)

@Ooneykcall, по-моему, "станут искать" не очень здесь звучит, тогда уж "начинают искать" или какой-то другой вариант.

Вопрос ко всем: стоит ли менять, чтобы приблизить к дословному переводу, или оставить как есть?

"Станут искать" - правильный перевод, чего уж. Может, они его ещё и не найдут. Только тогда "скорее", наверное.

Да, они могут его и не найти, если они на открытой местности, это меня и смущает. Но, с другой стороны, в таком случае трудно сказать, ищут они убежище или просто суетятся и бегают бесцельно, потому что им некомфортно под дождем.

Я бы тогда перевела "начинают искать", по-моему, смысл верно передает и звучит лучше.

Как вам такой вариант:

Козы не любят мокнуть и начинают искать укрытие раньше, чем овцы и другой домашний скот.

Кажется, точное попадание в смысл, притом звучит по-русски (и правда, "быстрее/скорее" как-то не гладко здесь, даром что относится ко времени, а не к скорости). Плюс заменил убежище на укрытие; убежище - нечто более серьёзное, по-моему, от какой-то опасности, а здесь у нас всего лишь укрытие от дождя.

@Ooneykcall, да, так лучше звучит. "Укрытие" больше подходит, чем "убежище".

Да, "укрытие" прекрасное.

Спасибо.